تقدیم به پدر و مادر مهربان و همسر عزیزم
که آنچه دارم، نتیجهی زحمت و فداکاری آنهاست

تشکر و قدردانی
کسی که از مخلوق تشکر نکند، شکر خالق را نیز بهجای نیاورده است. خداوند متعال را سپاس میگویم که در پرتو ذات او توانستم این پایاننامه را به پایان برسانم. از استادان راهنمای گرانقدرم آقایان دکتر سید حسین هندی و دکتر محمد حسین دهقانی که در ارائهی این رساله مرا یاری فرمودند، بینهایت سپاسگزارم. همچنین از استادان ارجمند دکتر احمد شیخی و دکتر احمد پوستفروش کمال تشکر را دارم.

چکیده

لایههای سیاه گرانش گوس- بونه در حضور
دو کلاس الکترودینامیک غیرخطی

توسط
اسحاق محمودی

در این رساله، با در نظرگرفتن دو کلاس از الکترودینامیک غیرخطی، به بررسی جوابهای لایهی سیاه در گرانش گوس- بونه میپردازیم. این دو کلاس از الکترودینامیک بورن- اینفلد گونه، که به الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی و نمایی معروفند دارای خصوصیات جالب توجه در مطالعهی میدان الکترومغناطیسی و نیز بررسی هندسی فضازمان میباشند. پس از مطالعهی خصوصیات هندسی فضازمان، به بررسی کمیتهای پایا و ترمودینامیکی پرداخته و تاثیرات حضور این میدان غیرخطی را بررسی میکنیم. در نهایت به بررسی قانون اول ترمودینامیک خواهیم پرداخت.

فهرست

عنوان صفحه

فصل اول 1
مقدمه 1

فصل دوم 6
نظریههای الکترودینامیک غیرخطی و معرفی دو کلاس جدید 6
2-1 نظریهی خطی الکترودینامیک: نظریهی ماکسول 7
2-2 نظریهی غیرخطی الکترودینامیک: نظریهی بورن- اینفلد(BI) 9
2-3 نظریهی الکترودینامیک غیرخطی: نظریهی توانی ناوردای ماکسول (PMI) 11
2-4 نظریهی غیرخطی الکترودینامیک: نظریهی لگاریتمی(LNEF) 14
2-5 نظریهی غیرخطی الکترودینامیک: نظریهی نمایی(ENEF) 16

فصل سوم 20
نسبیت عام، گرانش گوس- بونه، هندسه و ترمودینامیک سیاهچالهها 20
3-1 نسبیت عام و اصول اینشتین 21
3-1-1 اصل ماخ 22
3-1-2 اصل همارزی 23
3-1-3 اصل هموردایی عام 23
3-1-4 اصل جفت شدگی گرانش کمینه 24
3-1-5 اصل تناظر 24
3-2 هندسه و متریک 24
3-3 تانسور اینشتین 26
3-4 گرانش مشتقات بالاتر 28
3-5 گرانش لاولاک 30
3-6 کنش مرزی 33
3-7 بردارهای کیلینگ و تقارنهای فضازمان 34
3-8 سیاهچاله چیست؟ 36
3-9 خصوصیات هندسی سیاهچاله 37
3-10 ترمودینامیک سیاهچالهها 38
3-10-1 چهار قانون مکانیک سیاهچالهها 39
3-10-2 دما 40
3-10-3 آنتروپی 41
3-10-4 بار الکتریکی 43
3-10-5 پتانسیل الکتریکی 44
3-10-6 سرعت زاویهای 44
3-11 روش کانترترم در گرانش 45

فصل چهارم 47
جوابهای لایهی سیاه گرانش گوس- بونه در حضور دو کلاس جدید از الکترودینامیک غیرخطی 47
4-1 معادلات میدان 48
4-2 گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی 50
4-3 گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی 56
4-4 بررسی خصوصیات ترمودینامیکی سیاهچاله گوس-بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی 58
4-4-1 کمیتهای ترمودینامیکی و پایا 59
4-4-2 انرژی بهعنوان تابعی از کمیتهای پایا 61
4-5 بررسی خصوصیات ترمودینامیکی سیاهچاله گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی 62
4-5-1 کمیتهای ترمودینامیکی و پایا 62
4-5-2 انرژی بهعنوان تابعی از کمیتهای پایا ………………………………………………64

فصل پنجم 66
نتیجهگیری و پیشنهادات 66
5-1 خلاصه و نتیجهگیری 67
5-2 پیشنهادات 71

پیوست …………………………………………………………………………………………………………………72
مراجع 73

فهرست جدولها و نمودارها

شکل 2-1: نمودار تابع به ازای پارامترهای غیرخطی مختلف………………………………………..13
شکل 2-2: نمودار تابع برحسب به ازای ……………………………………..18
جدول 1: مقدار برای به ازای مقادیر مختلف های کوچک…………..19
شکل 5-1: نمودار تابع برحسب ……………………………………………………………………….60

فصل اول
مقدمه

پس از معرفی مکانیک نیوتنی، دانشمندان زیادی از این نظریه به عنوان مکانیک سماوی در مطالعه و شناخت کیهان استفاده کردند. در همان سالهای اولیه مطالعهی گرانشهای قوی و تأثیرات آن بر سایر اجرام مورد توجه قرار گرفت.
نخستین بار در سال 1784 میشل1 در مقالهای سرعت فرار2 را با اطلاعات آن روز محاسبه کرد [1] و در سال 1796 لاپلاس3 نیز همان نظریهی میشل را دوباره مطرح کرد که با توجه به اینکه مقدار دقیقی برای سرعت نور محاسبه نشده بود، آنچنان که میبایست مورد توجه قرار نگرفت. در اواخر قرن 19 سرعت نور کاملاً معلوم و اندازهگیری شد و از طرفی در سال 1915 اینشتین نظریهی نسبیت عام را برای تشریح مبانی هندسی برهمکنشهای گرانشی، که منجر به انحنای فضازمان توسط ماده یا انرژی میشد، مطرح کرد و نشان داد که گرانش روی مسیر نور نیز تأثیر میگذارد.
حقیقتهایی در مورد گرانش وجود دارد که نقش آن‌را در پدیدههای فیزیکی نمایان میکند، از جمله اینکه: در نظریهی نیوتنی خورشید نیروی گرانشی به زمین وارد میکند و از سوی دیگر زمین در پاسخ به این نیرو به دور خورشید میگردد. در نسبیت عام جرم خورشید انحنایی در فضازمان ایجاد میکند و زمین در مسیری مشخص در این فضازمان منحنی حرکت میکند. به عبارت دیگر در نظریه نیوتنی، گرانش برهم کنش از راه دور بین جرمهاست اما در نسبیت عام، گرانش به صورت انحنای هندسی فضازمان توصیف میشود.
در سال 1916 چند ماه پس از اینکه اینشتین معادلات خود را ارائه کرد، شوارتزشیلد نخستین جواب دقیق معادلات اینشتین را یافت ]2[ و اظهار داشت که از دیدگاه نظری سیاهچالهها وجود دارند. سپس دانشمندان با در نظر گرفتن این سیاهچاله در مبدأ مختصات، دریافتند که در فاصلهی مشخصی از آن نور هم نمیتواند از دام سیاهچاله خارج شود. به این فاصله، شعاع شوارتزشیلد و به ابر سطحی که در این فاصله قرار دارد، افق رویداد سیاهچالهی شوارتزشیلد میگویند.
اینشتین معادلات نسبیت عام را به صورت یک رابطهی تانسوری به شکل زیر ارائه نمود:
(1-1)
که در آن یک ثابت عددی مثبت موسوم به ثابت گرانش اینشتین میباشد. این معادله تأثیرات ماده بر انحنای فضازمان را نشان میدهد. در طرف راست معادلهی (1-1)، تانسور همان تانسور انرژی- تکانه است که معرف میدانهای مادی مختلف میباشد. طرف چپ این معادله که نقش هندسهی فضازمان را دارد، توسط تانسور اینشتین معرفی میشود که این تانسور به صورت زیر تعریف میشود:
(1-2)
که در آن و به ترتیب تانسور و اسکالر ریچی میباشند. اینشتین فقط مشتقات مرتبهی اول و دوم متریک را در معادلات خود در نظر گرفت و بعدها برای توضیح جهان شتابدار ثابت کیهانشناسی را نیز در معادله وارد کرد.
در سال 1971 لاولاک4 با درنظر گرفتن وابستگی خطی به مشتقات مرتبهی دوم متریک، معادلات گرانش در ابعاد بیش از 4- بعد را معرفی و بهجای تانسور اینشتین یک تانسور عمومیتر در معادلات گرانشی ارائه نمود. وی توانست به لاگرانژی که تعمیمی بود از لاگرانژی اینشتین – هیلبرت5 دست پیدا کند [3-5]. در فصل سوم در مورد گرانش لاولاک به اختصار بحث خواهیم کرد. ما در این رساله سعی بر این داریم که در طرف چپ معادلات میدان، به جای استفاده از گرانش اینشتین از گرانش مرتبهی دوم لاولاک (گرانش گوس- بونه) استفاده کنیم.
همان‌طور که گفته شد، در سمت راست معادلهی (1-1)، تانسور انرژی- تکانهی مربوط به میدانهای مادی مختلف قرار دارد. یکی از مهم‌ترین این میدانها، میدان الکترومغناطیسی میباشد. معادلات ماکسول به عنوان یک میدان خطی الکترومغناطیسی، از معروف‌ترین این میدانهاست.
پس از روی کار آمدن نظریهی نسبیت عام، با توجه به اینکه این نظریه یک تئوری غیرخطی گرانش میباشد، دانشمندان علاقهمند به نظریات غیرخطی شدند.
معادلات ماکسول چگونگی ایجاد میدانهای الکتریکی و مغناطیسی را توسط بارها و جریانهای الکتریکی و نیز پیدایش یکی از این میدان‌ها توسط تغییر زمانی میدان دیگر را توصیف می‌کنند. اما این معادلات در حالاتی خاص دارای ایراداتی است که میتوان به نامحدود شدن میدان الکتریکی ذرات باردار نقطهای در محل آن‌ها اشاره نمود.
تئوری میدانهای غیرخطی به این دلیل که اغلب سیستمهای فیزیکی موجود در طبیعت ذاتاً غیرخطی هستند بسیار مورد علاقه بود و کنشهای غیرخطی در تئوری ابرریسمان نیز مطرح شدند [6-10]. اولین بار در سال 1934 الکترودینامیک غیر خطی توسط بورن و اینفلد ارائه شد ]11[ که انگیزهی آن‌ها از ارائهی چنین میدانی محاسبهی مقدار متناهی برای خود انرژی ذرات باردار نقطهای گونه بود. سپس هافمن در سال 1935 نسبیت عام را با الکترودینامیک بورن و اینفلد پیوند داد و یک جواب متقارن کروی که نشان دهندهی میدان گرانشی یک جسم باردار باشد را معرفی کرد و جوابهای سیاهچالهای آن را مورد بررسی قرار داد ]12[.
از سوی دیگر در نظریهی ماکسول، میدان الکتریکی یک ذرهی باردار نقطهای تابعی از ابعاد فضازمان بوده و فقط در 4- بعد عکس مجذوری میباشد. اگر بخواهیم معادله الکترومغناطیس صرفنظر از ابعاد فضازمان متناسب با عکس مجذور فاصله باشد باید این نظریه را به صورت تعمیم یافته و غیرخطی بیان کنیم. نظریهی مناسب جهت برآورده کردن این خاصیت، نظریهی توانی ناوردای ماکسول6 (PMI) نام دارد که در بسیاری از مقالات در حوزهی گرانش به آن اشاره شده است [13و14]. در این رساله صرفنظر از نظریههای بورن- اینفلد و توانی ناوردای ماکسول دو کلاس جدید از میدانهای الکترومغناطیس غیرخطی را معرفی میکنیم و در مورد خصوصیات آن‌ها بحث خواهیم کرد. همچنین با در نظر گرفتن این دو کلاس غیرخطی بهجای میدان ماکسول در سمت راست معادلهی (1-1) جوابهای سیاهچالهای آن را بدست خواهیم آورد.
در سالهای اخیر، یکی از پیشرفتهای بزرگ در نسبیت عام، کشف رابطهی بین مکانیک سیاهچالهها و قوانین ترمودینامیک بوده است ]15[. بهعنوان نمونه با وجود گرانش قوی سیاهچاله و نبود اطلاعات از درون آن، یافتههای هاوکینگ در سال 1971 نشان داد در شرایط عمومی مساحت کل افقهای رویداد یک سیاهچاله هرگز نمیتواند کاهش یابد که این نتیجه را امروزه قانون دوم مکانیک سیاهچالهها مینامند. این قانون شباهت قابل توجهی با قانون دوم ترمودینامیک دارد که بیان میکند آنتروپی کل سیستم هرگز کاهش نمییابد. از این رو بکنشتین7 پیشنهاد داد یک سیاهچاله باید آنتروپی داشته باشد و آنتروپی آن با مساحت افق رویدادش متناسب است ]16و17[.
در این رساله ما علاقهمند به بررسی خصوصیات ترمودینامیکی سیاهچالهها میباشیم. ابتدا کمیتهای ترمودینامیکی و پایای سیاهچاله را محاسبه کرده، آنگاه با تعمیم رابطهی اسمار8 برای جوابهای بدست آمده، جرم را بهصورت تابعی از آنتروپی، بارالکتریکی و تکانهی زاویهای بدست میآوریم. سپس صحت قانون اول ترمودینامیک را برای نظریهی ارائه شده میآزماییم و در نهایت به بررسی پایداری جوابها خواهیم پرداخت. در این رساله در دستگاه واحد که میباشد کار میکنیم.
بهطور کلی مطالب این رساله به

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید