وجود دارد.
1- کنشی با شرایط مناسب نوشته میشود که آنرا کنش اینشتین- هیلبرت گویند. سپس آنرا نسبت متغیر دینامیکی میدان گرانشی (تانسور متریک فضازمان) وردش داده به کمک اصل وردش، معادلهی میدان بدست میآید ]28[.
2- از گرانش نیوتن استفاده شود. معادلهی گرانش نیوتنی همان معادلهی پواسن برای پتانسیل گرانشی است
(3-3-2)
که و بهترتیب چگالی ماده و پتانسیل گرانشی است. حال از هموردایی عام انتظار میرود، معادلهی گرانشی بهصورت یک رابطهی تانسوری باشد. از آنجایی که در حد گرانش ضعیف و استاتیک داریم:
(3-3-3)
بایستی در معادلهی میدان مطلوب تنها تا مشتق مرتبهی دوم متریک وجود داشته باشد. چون تنها تانسور مستقل ساخته شده از متریک و مشتقات متریک تا مرتبهی دوم، تانسور انحنای ریمان است. بنابراین بایستی در یک طرف معادله، تانسور انحنا و در طرف دیگر تانسور مربوط به انرژی و تکانه ماده در فضا قرار بگیرد و نهایتاً از روی آن، معادلهی اینشتین بدست میآید ]29[.
خصوصیات طرف چپ معادلهی (3-3-1) طبق فرضیات اینشتین [30 [به این صورت میباشند:
الف- تانسور اینشتین که در سمت چپ معادلهی ذکر شده به مشتقات مرتبهی اول و دوم متریک محدود میشود.
ب- تانسور اینشتین باید نسبت به مشتقات مرتبهی دوم خطی باشد.
ج- بدلیل صفر شدن مشتق هموردای (اصل بقای انرژی- تکانه) در طرف راست معادله، همین خاصیت میبایست در سمت چپ همواره برقرار باشد. یعنی، دیورژانس همواره باید صفر باشد.
د- همچنین از تأثیرات دیگری که طرف راست معادلات میدان به سمت چپ میگذارد این است که باید تانسور متقارن باشد.
با این مفروضات و مقداری محاسبه، معادلهی (1-2) بدست میآید.

3-4 گرانش مشتقات بالاتر

پس از معرفی نسبیت عام و بدست آوردن معادلات میدان توسط اینشتین، فیزیکدانان بهدنبال یک نظریهی واحد جهت توصیف تمام برهمکنشهای ذرات و میدانها بودند. در این زمینه پیشرفتهایی صورت گرفت و نظریاتی هم ارائه شد. یکی از این نظریهها، نظریهی ریسمان19 بود که با هدف متحدسازی کلیهی برهمکنشهای موجود در طبیعت بیان گردید. در این نظریه مدل ذرات (هادرونها) را مشابه با یک جسم یک بعدی بهنام ریسمان و نه ذرهی نقطهای در نظر میگرفت. پس از اینکه این نظریه به خاطر وجود تاکیونها20 (ذرات با جرم موهومی و اسپین 2) و نیز اینکه این نظریه در 26- بعد سازگار است برای مدتی کنار گذاشته شد، عدهای از فیزیکدانان با انتخاب گراویتون21 این نظریه را بهعنوان کاندیدای مناسبی برای نظریهی کوانتومی گرانش در نظر گرفتند. امروزه با تلفیق ابرتقارن و نظریهی ریسمان22، نظریهی ابرریسمان مورد توجه قرار گرفته است که مستقل از وجود تاکیونها بوده و در 10- بعد سازگار است. در حد انرژیهای پایین، این نظریه به مدلهای موثر گرانشی در ابعاد بالا (نظریههای مشتقات بالاتر انحنا) منجر میشود ]30[. جالب توجه است که این عبارات با مشتقات بالاتر انحنا در میدانهای کوانتومی نیز دیده میشود ]31[. در این زمینه نکتهای که از اهمیت زیادی برخوردار است این است که این عبارات، در ابعاد بالاتر از چهار بعد تأثیر خود را نشان میدهند.
از این دستاورد نتیجهای که میتوان گرفت این است که در این نظریهها در ابعاد بالاتر از چهار بعد، کنش گرانشی فقط شامل عبارت اینشتین- هیلبرت نیست و پیرو آن معادلات میدان نیز معادلات میدان اینشتین نخواهد بود و عباراتی با توانهای بالاتر انحنا نیز در این معادلات ظاهر میشود.
یکی از نظریههای بسیار مهمی که در زمینهی توانهای بالاتر انحنا بیان شده است، نظریهی گرانش لاولاک میباشد [3-5]. خصوصیت ویژهی این نظریه این است که در تانسور لاولاک مشتقات بالاتر از مرتبهی دوم متریک ظاهر نمیشوند.

3-5 گرانش لاولاک

تانسور گرانشی اینشتین () به همراه ثابت کیهانشناسی، در 4- بعد، تنها تانسوری است که میتوان از مشتقات مرتبهی اول و دوم متریک تشکیل داد بهطوری که این تانسور نسبت به مشتق مرتبهی دوم خطی باشد ]32[.
میدانیم اساسیترین فرضهای نسبیت عام اینشتین این است که یک تانسور مرتبهی دو که به هندسهی فضازمان بستگی دارد با تانسور انرژی- تکانه متناسب باشد. بنابراین تانسور مرتبهی دومی که به هندسه بستگی دارد بایستی دارای خواص زیر باشد.
1-این تانسور باید متقارن باشد، یعنی:

2-این تانسور باید ترکیبی از متریک و مشتقات آن حداقل تا مشتق مرتبهی دوم باشد.

3- مشتق هموردای این تانسور باید صفر باشد، یعنی:

4-این تانسور نسبت به مشتقات مرتبهی دوم متریک تناسب خطی دارد. در این مورد فرض میشود که معادلات میدان خلا به شکل زیر است:

با توجه به خواص فوق، در سال 1971 لاولاک یک تانسور عمومیتر در ابعاد بالاتر که شرایط تانسور اینشتین را برآورده میکرد ارائه نمود [3-5].
خصوصیت مهم لاگرانژی لاولاک این است که این لاگرانژی نسبت به تانسور ریمان غیرخطی است و تفاوت معادلات میدان ناشی از لاگرانژی لاولاک با معادلات میدان اینشتین تنها در فضازمانهای بالاتر از 4- بعد مشخص میشود، یعنی در 4- بعد جوابهای معادلات میدان لاولاک به جوابهای گرانش اینشتین کاهش مییابند. به دیگر سخن در 4- بعد جملات بالاتر لاولاک یک ناوردای توپولوژیک بوده و تاثیری در معادلات میدان و هندسهی فضازمان ندارد. که این لاگرانژی بهصورت زیر معرفی میشود:
(3-5-1)
در رابطهی فوق بیانگر قسمت صحیح است، یک ثابت اختیاری است و به ازای های مختلف جملات مختلف لاولاک را بوسیلهی رابطهی زیر بهدست میدهد:
(3-5-2)
که در آن تانسور انحنای ریمان در بعد و دلتای کرونکر پادمتقارن تعمیم یافته میباشد. مرتبهی اول این لاگرانژی (یعنی اگر در معادله را قرار دهیم) به لاگرانژی اینشتین- هیلبرت تبدیل میشود:
(3-5-3)
اگر در معادلهی (3-5-1) مقدار قرار دهیم به لاگرانژینی تبدیل میشود که شامل اولین مرتبهی بالاتر در گرانش لاولاک بوده و معادلهی حرکت ناشی از آن نسبت به مشتق مرتبهی دوم تانسور متریک خطی است که آن را لاگرانژی گوس-بونه مینامند ]33[. در این تحقیق سعی برآن استکه تا همین مرتبه از گرانش لاولاک را مورد مطالعه قرار دهیم. لاگرانژی گوس-بونه به شکل زیر معرفی میگردد:
(3-5-4)
همان‌طور که گفته شد لاگرانژی گوس- بونه در 4- بعد یک ناوردای توپولوژیک بوده و در 5- بعد و بالاتر میتوان تأثیرات آنرا مشاهده نمود.
حل سیاهچاله در گرانش گوس- بونه شامل دو جواب میباشد، که این جوابها به دو شاخهی مثبت و منفی تقسیمبندی شدند. هنگامیکه دیزر برای اولین بار جواب را کشف کرد، ادعا کرد که حالت خلأ در شاخهی مثبت ناپایدار میباشد ]34[، پس جواب در شاخهی منفی مورد بررسی قرار گرفت، و توجه کمتری به شاخهی مثبت شد، اما اخیراً مشخص شده است که حالت خلأ در هر دو شاخه پایدار میباشد. جوابهای زیادی در گرانش گوس- بونه مورد بررسی قرار گرفتهاند که به برخی از آنها اشاره میشود: جواب تاب ناب، در گرانش گوس- بونه در مرجع ] 35[ بررسی شده و تحلیل جوابهای باردار آن در مرجع [36] آمده است.
سیاهچالههای کروی ایستا بدونبار در ]37[ بررسی شده است. همچنین جوابهای سیاهچالهای با توپولوژی غیربدیهی در گرانش گوس- بونه در مرجع ]38و39[ آمده است. ترمودینامیک سیاهچالههای بدون بار ایستا با تقارن کروی در مرجع ]40[ و سیاهچالههای باردار در مراجع ]41و42[ بررسی شده است. تمامی این جوابهای شناخته شده در گرانش گوس- بونه استاتیک میباشند. جوابهای چرخان در گرانش گوس- بونه نیز در مرجع ]43و44[ آمده است.
در این رساله در سمت چپ معادلهی میدان گرانشی بهجای لاگرانژی اینشتین، از لاگرانژی گوس-بونه بهعنوان تعمیم لاگرانژی اینشتین استفاده میکنیم. به دیگر سخن کنش گرانشی مورد استفاده در این رساله بهصورت زیر معرفی میشود:
(3-5-5)
که در آن ضریب گوس- بونه است. مسلماً در حد های کوچک ()، معادلات و نیز جوابهای بهدست آمده باید به معادلات و جوابهای گرانش اینشتین تبدیل شوند.
3-6 کنش مرزی

از وردش دادن کنش گرانشی اینشتین نسبت به متریک فضازمان، میتوان به معادلات حرکت دست پیدا کرد. اما پس از وردش کنش اینشتین- هیلبرت نسبت به ، همهی عبارات خوشتعریف نیستند. مشکل از اینجا ناشی میشود که در راه رسیدن به معادلات میدان، عباراتی دارای انتگرال سطحی که در برگیرندهی مشتق نرمال بر سطح هستند، ظاهر میشوند. در این حالت برای خوشتعریف کردن این کنش، گیبونز و هاوکینگ یک انتگرال مرزی به کنش حجمی اضافه کردند، که به این دلیل که تابعی از هندسهی مرز بود تأثیری در معادلات حرکت ایجاد نمیکرد و فقط مشتق نرمال کنش مرزی را از بین میبرد [45]. جملهی اضافه شده توسط گیبونز و هاوکینگ به صورت زیر تعریف میشود:
(3-6-1)
که متریک القایی بر روی مرز و رد23 انحنای خارجی24 مرز میباشد.
در معادلهی (3-6-1)، بهعنوان تغییرات بردار عمود بر مرز به صورت زیر تعریف میشود [25]:
(3-6-2)
که بردار یکهی عمود بر سطح است.
در مورد گرانش مراتب بالاتر انحنا (مشتقات بالاتر) کنش مرزی پیچیدهتر میشود. بهعنوان مثال در مورد کنش گوس- بونه برای اینکه معادلات وردش داده شده خوش تعریف باشند، علاوه بر کنش گیبونز- هاوکینگ، کنش زیر نیز باید به معادلات افزوده شود [46و47]:
(3-6-3)
در معادلهی فوق تانسور اینشتین برای متریک مرز است و رد تانسوری است که بهصورت زیر تعریف میشود:
(3-6-4)
بنابراین در گرانش گوس- بونه، کنش سطحی کل به صورت زیر خواهد بود:
(3-6-5)
با در نظر گرفتن رابطهی (3-6-5) به همراه کنش گوس- بونه، در راه رسیدن به معادلات میدان گرانشی، تمامی جملات خوشرفتار میگردند.

3-7 بردارهای کیلینگ25 و تقارنهای فضازمان

با در نظر گرفتن یک متریک، در صورتی که بخواهیم کمیتهای پایای متناظر با آن را محاسبه کنیم، میبایست تقارنهای فضازمان را داشته باشیم. چراکه بر طبق قضیهی نواِدر26، متناظر با هر تقارن پیوسته یک کمیت پایا وجود دارد. برای مطلع شدن از تقارنهای فضازمان باید بردارهای کیلینگ آن متریک را بدانیم.
با توجه به رابطهی تبدیلات متریک در هر نقطه داریم:
(3-7-1)
متریک را تحت تبدیل از نظر شکل هموردا27 گویند هرگاه تبدیل یافتهی دارای همان تابعیت از متغیرهایش باشد که متریک اولیهی نسبت به متغیرهایش است، بهعبارت دیگر متریک جدید و قدیم باید یک تابعیت از مختصات جدید و قدیم داشته باشند، بهعنوان مثال اگر تحت دوران نسبت به یک محور ثابت بماند نیز باید تحت دوران نسبت به همان محور ثابت بماند. یعنی:
(3-7-2)
به کمک روابط فوق میتوان به روابط زیر رسید:
(3-7-3)
بهعبارت دیگر ایزومتریهای فضازمان را میتوان به کمک مبحث تبدیلات استخراج نمود. در حالت کلی کار کردن با روابط فوق پیچیده است؛ لذا برای سادگی از تبدیلات مختصات بینهایت کوچک28 زیر استفاده میکنیم:
(3-7-4)

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید