ز معادلات ماکسول است. به عبارت دیگر شکل نمایی لاگرانژین الکترودینامیک از خصوصیاتی مابین الکترودینامیک بورن- اینفلد و الکترودینامیک ماکسول برای میدان الکتریکی ذرات باردار نقطهای برخوردار است. این خصوصیت جالب توجه، در واقع یک الگوی واقعیتر و در عین حال انعطافپذیرتر از میدانهای الکترومناطیس ذرات باردار ارائه میکند.
اگر معادله (2-5-1) را برحسب های بزرگ بسط دهیم داریم:
(2-5-2)
با اعمال این لاگرانژی به (لاگرانژی ماکسول) تبدیل میشود.
همچنین با وردش لاگرانژی نمایی نسبت به ، معادلات غیرخطی الکترومغناطیسی نمایی حاصل میگردد.
(2-5-3)
که با حل معادلهی (2-5-3) در یک فضازمان مینکوفسکی در n+1 بُعدی به معادلهی:
(2-5-4)
میرسیم و با حل این معادله عبارت زیر برای میدان الکتریکی بهدست میآید:
(2-5-5)
که در این رابطه میباشد. همچنین تابع به صورت تعریف میشود. اگر رابطه (2-5-5) را بر حسب های بزرگ بسط دهیم داریم:
(2-5-6)
که در حد و برای 4- بُعد، همان میدان الکتریکی بار نقطهای در معادلهی خطی ماکسول استخراج میشود.
در پایان جهت مقایسهی میدانهای غیرخطی با یکدیگر و نیز با میدان خطی ماکسول، این میدانها را در یک نمودار ترسیم میکنیم:

شکل 2-2: نمودار بر حسب به ازای ، خط پیوسته پررنگ مربوط به میدان ماکسول، خط نقطهچین مربوط به میدان نمایی، خط پیوسته مربوط به میدان بورن- اینفلد و خط چین مربوط به لگاریتمی میباشد.
همانطور که در شکل (2-2) میبینیم به ازای های کوچک میدان الکتریکی ماکسول (خط پررنگ) به بینهایت میل میکند و میدانهای غیرخطی بورن- اینفلد و لگاریتمی (خط چین افقی و عمودی) به یک مقدار محدود و برابر میل میکنند و میدان غیرخطی نمایی به بینهایت میل میکند اما سرعت واگرایی آن کمتر از میدان ماکسول میباشد.

جدول 1: مقدار برای به ازای مقادیر مختلف های کوچک
با توجه جدول 1 که محاسبات عددی را برای میدانهای الکتریکی محاسبه شده در این فصل انجام دادیم، میبینیم که به ازای های کوچک، میدان الکتریکی بورن- اینفلد و لگاریتمی محدود میشوند و همچنین میبینیم که با وجود اینکه در میدان الکتریکی نمایی همانند میدان الکتریکی ماکسول بینهایت میشود اما سرعت واگرایی آن بسیار کمتر از میدان الکتریکی ماکسول میباشد. با توجه به اینکه این نظریه در سال 2012 ارائه شده ولی توجه زیادی را به خود اختصاص داده است که میتوان به ]23[ اشاره نمود.

فصل سوم
نسبیت عام، گرانش گوس- بونه، هندسه
و ترمودینامیک سیاهچالهها

3-1 نسبیت عام و اصول اینشتین

همان‌طور که میدانیم برهمکنشهای موجود در طبیعت به چهار دسته تقسیم میشوند، که عبارتند از:
1- نیروی برهمکنش هستهای قوی
2- نیروی برهمکنش هستهای ضعیف
3- نیروی الکترومغناطیسی
4- نیروی گرانشی
بدیهی است که از بین این چهار نیرو، ضعیف‌ترین آن نیروی گرانشی است که در مقابل سه نیروی دیگر اثر بسیار ضعیفی از خود نشان میدهد. با این وجود این نیروی برهمکنشی مهم‌ترین نیروی موجود در جهان، جهت تشکیل ساختارهای موجود در کیهان میباشد.
نیروی برهمکنش گرانشی و قوانین حرکت، نخستین بار توسط نیوتن در قالب قوانین نیوتن بیان شد. این قوانین تحت تبدیلات گالیله ناوردا بوده و قادر به پاسخگویی بسیاری از مسائل موجود در جهان بودند. اما در اواخر قرن 19 معلوم شد که وقتی این قوانین در سرعتهای خیلی نزدیک به سرعت نور مورد استفاده قرار گیرد، شکاف عمیقی بین برخی از نتایج تجربی و نتایج حاصل از این قوانین دیده میشود.
از سوی دیگر نظریهی الکترودینامیک کلاسیک نخستین بار در سال 1864 توسط ماکسول با ارائه معادلاتی که امروزه آن‌ها را معادلات ماکسول مینامند مورد توجه قرار گرفت. این معادلات تحت تبدیلات گالیله ناوردا نیستند، زیرا معادلات ماکسول سرعت نور را یک ثابت جهانی پیشبینی میکند.
برای حل این مشکل، اینشتین پیشنهاد کرد، به جای استفاده از تبدیلات گالیله باید از گروه دیگری از تبدیلات مختصات استفاده نمود بطوریکه معادلات ماکسول تحت چنین تبدیلاتی ناوردا باقی بمانند. واضح است که در این صورت مکانیک نیوتنی تحت چنین تبدیلاتی ناوردا نبوده و بنابراین اینشتین به اصلاح مکانیک نیوتنی پرداخت و در سال 1905 نظریهی نسبیت خاص را مطرح کرد.
اینشتین در سال 1916 نظریهی نسبیت عام، که تعمیمی از نظریهی نسبیت خاص و گرانش نیوتنی میباشد، ارائه نمود. در راستای ارائهی این نظریه، اصولی بود که بهطور مستقیم یا غیرمستقیم اینشتین را به سوی این فرمولبندی سوق داد. این پنج اصل عبارتند از:
1- اصل ماخ14
2- اصل همارزی15
3- اصل هموردایی عام16
4- اصل کمترین جفت شدگی17 گرانشی
5- اصل تطابق18

3-1-1 اصل ماخ
این اصل که دیدگاهی کاملاً فلسفی دارد، حرکت را یک مفهوم نسبی معرفی میکند و بیان میکند که در فضای خالی نمیتوان گفت که جسم دارای حرکت است یا خیر. در این نظریه حرکت سیستم نسبت به یک دستگاه مختصات لخت سنجیده میشود. همچنین این نظریه منشا نیروهای لختی را در ماده میداند.
اگر عالم بطور یکنواخت انبساط نیابد، چارچوبی که در این نقطه لخت است در فاصلهی دور دیگر لخت نیست. با این حال باز هم در هر نقطه مجموعهای نامتناهی از چارچوبهای لخت وجود دارند که همه نسبت به هم حرکت یکنواخت دارند [24].
بیانهای مختلف اندیشههای ماخ که به اینشتین در ارائه نسبیت عام کمک کرد، از این قرارند:
الف- ماده هندسه را بهوجود میآورد.
ب- اگر ماده وجود نداشته باشد، هندسه هم وجود ندارد.
ج- جسم در یک فضای خالی نمیتواند دارای اثر لختی باشد.

3-1-2 اصل همارزی
اساس اصل همارزی، تساوی جرم لختی و جرم گرانشی است. قبلاً توسط فیزیک‌دانانی این تساوی بررسی شده بود. اما اینشتین از دیدگاه کلیتری به این نتیجه رسید. او به مفهوم جرم به صورت دقیقتری نگریست و دو نوع جرم لختی و جرم گرانشی را از هم تمیز داد و استنباط کرد که هیچ آزمایشی وجود ندارد که بتوان بین آثار دو ناظر، یکی در میدان گرانشی همگن (در یک چارچوب لخت) و دیگری در آسانسور در حال سقوط (چارچوب مرجع نالخت) تفاوت قائل شد.

3-1-3 اصل هموردایی عام
بر طبق اصل اول نسبیت خاص، کلیهی ناظرهای لخت در نسبیت خاص معادل هم هستند. اما اینشتین این موضوع که هم ناظرهای لخت و هم ناظرهای غیرلخت قادر به بیان قوانین فیزیک هستند و هیچ سیستم مرجحی وجود ندارد، معادلات فیزیک را به صورت تانسوری و به شکل هموردا بیان کرد. این معادلات هموردای فیزیک در همهی دستگاهها شکل یکسانی دارند.
در نسبیت خاص با توجه به اینکه فضازمان تخت میباشد، متریک مینکوفسکی بهعنوان یک متریک خاص مورد استفاده قرار میگیرد. ولی در نسبیت عام با توجه به آنکه فضازمان خمیده است متریکهای متفاوتی لحاظ میگردد. با توجه به اینکه همهی ناظرها باید بتوانند قوانین فیزیک را بهدرستی بهدست آورند، میبایست قوانین فیزیک به متریک و دستگاه مختصات بستگی نداشته باشد. از آنجایی که تانسورها به دستگاه مختصات بستگی ندارند، باید از حساب تانسوری استفاده کنیم.

3-1-4 اصل کمترین جفت شدگی گرانشی
در تعمیم نسبیت خاص به نسبیت عام، نباید جملاتی که بطور صریح شامل تانسور انحنا هستند، اضافه شوند. یعنی در گذار از نسبیت عام به نسبیت خاص هیچ جملهی غیرضروری نباید اضافه کرد. این اصل صریحاً توسط اینشتین مطرح نشد ولی بطور ضمنی از آن استفاده کرد.
3-1-5 اصل تناظر
طبق اصل تناظر، نسبیت عام در غیاب گرانش باید به نسبیت خاص تبدیل شود و از طرفی دیگر در حد سرعتهای پایین و گرانش ضعیف نسبیت عام به گرانش نیوتنی مبدل میگردد ]25[.

3-2 هندسه و متریک

برای اینکه سیستمهای گرانشی را بررسی کنیم، همانند سیستمهای کلاسیکی ابتدا باید چارچوب مناسب را انتخاب کنیم. در حوزهی گرانش این چارچوب، متریک مربوط به فضازمان میباشد.
لازم به ذکر است که هرچند متریک حاوی اطلاعات هندسی بسیاری از فضازمان میباشد ولی در بر گیرندهی همهی اطلاعات نخواهد بود. بطور مثال یک صفحهی تخت و استوانه دو فضای مختلف ولی با متریک یکسان هستند. علاوه بر متریک، وضعیت بردار عمود بر سطح نیز اطلاعات تکمیلی فضازمان را در بر دارد.
میدان و مواد موجود در فضازمان، ساختار و هندسهی آن را تعیین میکنند. این میدانها و مواد موجب خمیدگی فضازمان و در نتیجه خمیدگی مسیر حرکت ذرات موجود در فضازمان میشوند. خمیدگی فضازمان توسط تانسور انحنای ریمان داده میشود.
متریک به سه زبان قابل توصیف است:
1- به زبان هندسی ساده، متریک فاصلهی بین یک رویداد با رویداد دیگر را مشخص میکند.
2- در زبان مختصاتی، متریک تانسوری است که در 4- بعد از ده جزء تشکیل شده است که بوسیلهی عبارت
(3-2-1)
فاصلهی بین دو رویداد و را مشخص مینماید.
3- به زبان هندسهی دیفرانسیل مجرد، متریک ماشینی است بهصورت که دو بردار و را تبدیل به یک اسکالر مینماید ]26و27[.
تانسور متریک فضازمان تخت در مختصات دکارتی بصورت میباشد، در نتیجه فاصلهی دو رویداد بهصورت زیر معرفی میشود:
(3-2-2)
با استفاده از مفهوم متریک فضایی در دو بعد، میتوان سه نوع هندسه را تعریف کرد:
1- هندسهی تخت: به ازای هر خط و نقطه خارج آن، یک و تنها یک خط به موازات آن خط مفروض میتواند از آن نقطه عبور داد. در این حالت جمع زوایای داخلی یک مثلث 180 درجه است.
2- هندسهی ریمانی با خمیدگی مثبت: در این حالت جمع زوایای داخلی یک مثلث بیشتر از 180 درجه میباشد.
3- هندسهی ریمانی با خمیدگی منفی(هندسهی لباچفسکی): در این حالت جمع زوایای داخلی یک مثلث کمتر از 180 درجه میباشد.

3-3 تانسور اینشتین

پس از آنکه اینشتین به فکر ارائهی نظریهی نسبیت عام خود بر مبنای رفع محدودیتهای نسبیت خاص افتاد، اولین چالش پیشروی او گرانش نیوتنی بود که بیان مینمود جاذبه یک عامل خارجی است و صرفاً بر اجرام تاثیر خواهد کرد. حال آنکه بر طبق نظریهی نسبیت خاص، جرم و انرژی تعاریف (ظاهراً) متفاوت از یک کمیت واحد هستند. لذا تمامی خصوصیات مربوط به جرم شامل انرژی نیز خواهد شد. پس گرانش نیز اگر بر اجرام اثر کرده و مسیر حرکت آن‌ها را منحرف میکند، بایستی مسیر حرکت بستههای انرژی متحرک (کوانتومهای نوری) را نیز منحرف نماید. این عمل بهراحتی از طریق مشاهدات ادینگتون مشهود بود، لذا اینشتین متوجه محدودیت نسبیت خاص در خصوص نادیده گرفتن تغییرات دربازهی زمانی شد. چراکه با نسبیت خاص تنها انحنای فضایی مد نظر گرفته میشد.
ایدهی اینکه اجرام سنگین علاوه بر مکان، بر زمان نیز اثر میگذارند اولین بار به ذهن اینشتین خطور کرد و برای توضیح ریاضیاتی آن از محاسبات تانسوری بهره گرفت.
نظریهی نسبیت عام بر پایهی معادلاتی موسوم به معادلات اینشتین بنا نهاده شده است. معادلات اینشتین از یک معادلهی تانسوری که هندسهی فضازمان عالم چهار بعدی را به خواص مواد موجود در آن ارتباط میدهد نتیجه میشود، که همانطور که در فصل اول به آن اشاره شد بهصورت زیر بیان میگردد:
(3-3-1)
این معادله نشان میدهد که وجود ماده (از هر نوع که باشد) موجب خمیدگی فضازمان میشود. در عین حال دینامیک حرکت ماده میتواند از این معادله استخراج شود.
برای بدستآوردن رابطهی (3-3-1) دو راه

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید