با اندکی محاسبه و کمک گرفتن از روابط تبدیلات متریک میتوان به رابطهی زیر رسید [25و27]:
(3-7-5)
در نظریهی نسبیت عام چاربردار که رابطهی (2-5-7) را برآورده سازد، بردار کیلینگ نامیده میشود و همانطور که ذکر شد، متناظر با هر بردا کیلینگ یک کمیت پایا وجود دارد.

3-8 سیاهچاله چیست؟

بهدلیل بزرگ بودن ستارهها و وجود جرم عظیم در ساختار آن‌ها، میدان جاذبهی گرانشی همواره در تلاش برای درهم فروریختن ستاره است. از طرفی همجوشیهائی که در مرکز ستارهها انجام میشوند با مقابله با میدان گرانشی عامل ایجاد ثبات در این میان است و ستاره را از نابودی حفظ میکند.
هنگامی که فشار داخلی یک جسم برای مقاومت در برابر نیروی گرانشی خود جسم کافی نباشد رمبش گرانشی29 رخ میدهد. بهعبارت دیگر زمانی که در یک ستاره بهدلیل کم شدن فرایند همجوشی، تولید انرژی از طریق سنتزهای هستهای قادر به حفظ دما نباشد، حادثهی رمبش گرانشی رخ میدهد.
پس از رمبش گرانشی، بر اثر فشار تبهگنی شکافت هستهای (تبدیل هیدروژن به هلیوم یونیزه) متوقف میگردد و اجزای تشکیل دهندهی ستاره فشردهتر میشود و ماده به مادهای که به اندازهی قابل توجهی چگالتر است، تبدیل میشود. حاصل این رویداد یک نوع ستارهی فشرده است که نوع آن به جرم مادهی باقی‌مانده بستگی دارد. اگر جرم آن 3 الی 4 برابر جرم خورشید باشد (حد تولمن30- اوپنهایمر31- وولکوف32) حتی فشار تبهگنی نوترونها برای متوقف سازی فروپاشی کافی نخواهد بود. پس از این هیچ مکانیزم شناخته شدهای قدرت کافی برای متوقف سازی فروپاشی را ندارد و جسم در نهایت به ناگزیر به یک سیاهچاله تبدیل میشود.
بهطور کلی، یک سیاهچاله ناحیهای از فضازمان است که از فروریزش گرانشی جرمهای سنگین بهوجود خواهد آمد و در نهایت به یک تکینگی در فضازمان منجر میشود که به وسیلهی ابرسطح یکطرفهای که افق رویداد نامیده میشود از سایر قسمتهای فضازمان جدا میشود ]48[.
در حال حاضر گمان بر این است که تقریباً در مرکز تمام کهکشانها سیاهچالههای بسیار بزرگی وجود دارند که جرمی میلیونها و یا حتی میلیاردها برابر جرم خورشید دارند، همچنین گمان میرود که نمونههای بسیاری از سیاهچالههای کوچک در کهکشانها وجود دارند. تعداد اندکی از این سیاهچالهها در کهکشان ما نیز شناسایی شدهاند.

3-9 خصوصیات هندسی سیاهچاله

در نسبیت عام، وجود گرانش نشانهی انحنای فضازمان است. اجسام پرجرم فضازمان را خمیدهتر میکنند بهطوریکه قوانین هندسهی تخت دیگر کارایی خود را از دست میدهند. در نزدیکی سیاهچاله این انحنای فضازمان بسیار شدید است و سبب میشود سیاهچاله ویژگیهای عجیب و جالب توجهی داشته باشد.
صفت سیاه در سیاهچاله به این دلیل است که نور راه یافته به افق رویداد را در خود به دام میاندازد و این به معنی نداشتن اطلاعاتی از درون سیاهچاله است. بر اساس نظریهی نسبیت عام، در درون افق هر سیاهچاله یک تکینگی است. در رابطه با سیاهچالههای استاتیک تکینگی بهطور حدی یک نقطهی بدون حجم در نظر گرفته میشود که تمام جرم در این نقطه متمرکز میگردد و بنابراین با وضعیت بینهایت شدن خمیدگی فضازمان و افزایش چگالی در این نقطه روبهرو هستیم. تکینگی توسط ناحیهی مرزی بهنام افق رویداد پوشانده میشود. بر طبق نظریهی نسبیت عام، ناحیهی افق رویداد- که شکلاش با توجه به تقارن مرزی متریک تعیین میشود- دسترسی اطلاعاتی ما را از درون سیاهچاله ناممکن میکند. افق رویداد ابرسطحی است که گذار به سرخ در آنجا بینهایت میشود و همچنین حرکت نور و ماده از آن تنها در یک جهت و تنها به درون سیاهچاله ممکن است.
سیاهچالهها انواع مختلفی دارند که سادهترین نوع آن‌ها سیاهچاله‌هایی هستند که تنها جرم دارند و عاری از بار الکتریکی و تکانه زاویه‌ای هستند. این سیاهچاله‌ها را اغلب با نام سیاهچالههای شواتزشیلد میشناسند. البته جوابهایی برای معادلات انیشتین که سیاهچاله‌های کلیتری را توصیف می‌کنند نیز وجود دارند. مثلاً متریک رایسنر- نورسترم سیاهچاله‌های باردار ایستا و متریک کر سیاهچاله‌های چرخان بدون بار الکتریکی را توصیف می‌کنند. کلیترین جواب موجود برای سیاهچاله‌های پایا متریک کر- نیومن است که سیاهچاله‌هایی را توصیف می‌کند که علاوه بر جرم، بار الکتریکی و نیز تکانه زاویه‌ای دارند. دلیل داشتن تکانهی زاویهای این است که وقتی ستارههایی که دارای تکانهی زاویهای هستند متلاشی میشوند بر طبق قانون پایستگی اندازه حرکت زاویهای سیاهچالهای که از رمبش گرانشی آن بهوجود میآید نیز دارای اندازه حرکت زاویهای است.

3-10 ترمودینامیک سیاهچالهها

اگر بخواهیم مکانیک کوانتومی را برای گرانش تعمیم دهیم با مشکلات زیادی روبهرو میشویم. برای فهم گرانش کوانتومی به سیستمی نیازمندیم که رفتار کلاسیک و کوانتمی را با هم در بر داشته باشد که یکی از این نمونه سیستمها، سیاهچالهها هستند. از این رو بررسی ترمودینامیک سیاهچالهها میتواند قدمی به سمت فهم گرانش کوانتومی باشد.
بهطور کلی سیاهچالهها توسط جرم، تکانهی زاویهای و بار الکتریکیشان توصیف میشوند. از نظر کلاسیکی سیاهچالهها جذبکنندههای کاملی هستند که هیچ چیزی گسیل نمیکنند و دمای فیزیکی مطلقشان صفر است. هاوکینگ با استفاده از نظریۀ میدانهای کوانتومی نشان داد که سیاهچالهها با یک طیف دمایی کامل تابش میکنند ]49[. این تابش امروزه به تابش هاوکینگ موسوم است. در سال 1971 هاوکینگ اثبات کرد که مساحت افق سیاهچالهها نمیتواند تحت هیچ فرایندی کاهش پیدا کند و بهعلاوه نشان داد که وقتی دو سیاهچاله با هم ادغام میشوند مساحت سطح سیاهچالهی جدید نمیتواند کوچکتر از مجموع مساحتهای اولیه باشد ]50[. سپس بکنشتین از قیاس با قانون دوم ترمودینامیک پیشنهاد کرد که یک آنتروپی وابسته به سطح افق در سیاهچاله وجود دارد [16و51]. کمی بعد کارتر، باردن و هاوکینگ رابطهی بین قوانین فیزیکی سیاهچالهها در نظریهی نسبیت عام و قوانین ترمودینامیک را بطور کامل نشان دادند ] 15[.

3-10-1 چهار قانون مکانیک سیاهچالهها

قوانین ترمودینامیک سیاهچالهها عبارتند از:
– قانون صفرم:
قانون صفرم مکانیک سیاهچالهها بیان میکند، برای یک سیاهچاله در حال تعادل و پایدار گرانش سطحی33 که آنرا با نمایش میدهیم روی افق رویداد یک سیاهچاله ثابت میماند ]52[. این ثابت ماندن رهنمونی با قانون صفرم ترمودینامیک است؛ بدین معنی که دما در نقاط مختلف یک سیستم ترمودینامیکی که در تعادل گرمایی است، یکسان میباشد.
– قانون اول:
اگر یک سیاهچالهی باردار چرخان از یک حالت پایا با آنتروپی ، بار و تکانه زاویهای به حالت پایای دیگر (در نزدیکی حالت قبلی) با آنتروپی ، بار و تکانه زاویهای برود، داریم:
(3-10-1)
که در این رابطه دمای افق رویداد ، پتانسیل الکتریکی، سرعت زاویهای افق رویداد و جرم سیاهچاله است. در صورت چرخان یا باردار نبودن سیاهچاله، جملات مربوط به این کمیتها در رابطهی (3-10-1) صفر خواهند شد.
– قانون دوم:
قانون دوم میگوید، مساحت افق کاهش ناپذیر است. بهعبارت دیگر در هیچ فرایند فیزیکی، مساحت افق رویداد سیاهچاله نمیتواند کاهش یابد، یعنی همیشه داریم .
قانون دوم تعمیم یافته: تعمیم قانون دوم توسط بکنشتاین مطرح شد و او این‌گونه بیان کرد، مجموع آنتروپی بیرون سیاهچاله و آنتروپی خود سیاهچاله هرگز کاهش نمییابد. تشابه این قانون با قانون دوم ترمودینامیک است، یعنی افزایش همیشگی آنتروپی.
– قانون سوم:
گرانش سطحی افق سیاهچاله نمیتواند توسط تعداد متناهی فرایند فیزیکی به صفر مطلق برسد.

3-10-2 دما

در تلاش برای توسعهی محاسبات در تابش خوبهخودی، هاوکینگ به این حقیقت دست یافت که حتی سیاهچالهی غیرچرخنده هم میتواند تابش کند و نشان داد که باید یک دمای غیرصفر به افق سیاهچاله نسبت داد [49] که از رابطهی زیر تبعیت میکند ]53[:
(3-10-2)
بر طبق تعریف، گرانش سطحی عبارت است از شتاب یک ذرهی در نزدیک افق که توسط ناظری در بینهایت فضایی اندازهگیری شود.
اگر یک میدان بردار کیلینگ باشد بهطوری که روی سطح افق حادثه نول باشد، گرانش سطحی را میتوان از رابطهی زیر استخراج نمود ]25و27[:
(3-10-3)

3-10-3 آنتروپی

در گرانش اینشتین آنتروپی سیاهچالهها معمولا قانونی موسوم به قانون مساحت34 را برآورده میکنند. بر طبق این قانون آنتروپی سیاهچاله برابر است با یک چهارم مساحت افق [54]
(3-10-4)
در حضور گرانش مرتبههای35 بالاتر دیگر قانون مساحت، یعنی رابطهی (3-10-4) برقرار نیست و باید از سایر قوانین جهت محاسبهی آنتروپی استفاده کرد. والد نشان داد که آنتروپی سیاهچاله همیشه میتواند بهعنوان یک کمیت هندسی موضعی انتگرال‌گیری شده بر سراسر ناحیهی فضایی سطح مقطع افق رویداد بیان شود [55 و56]. آنتروپی والد بهشکل زیر معرفی میشود:
(3-10-5)
که در آن لاگرانژی لاولاک، ابرسطح افق، دترمینان متریک در ابرسطح و بردار یکهای که از دو طرف یک سطح برآن عمود میباشد. با قراردادن لاگرانژی لاولاک در رابطهی (3-10-5)، شکل تعمیم یافتهی آنتروپی در ابعاد بالاتر بهدست میآید:
(3-10-6)
که این انتگرال بر روی ابرسطح فضاگونه بعدی گرفته میشود. متریک القایی و دترمینان این متریک میباشد. در این رابطه معرف مراتب مختلف لاولاک میباشد. به ازای های مختلف داریم:
(3-10-7)
که در آن و به ترتیب تانسورهای ریمان و ریچی و اسکالر ریچی برای متریک القایی بعدی هستند. برای مرتبهی اول لاولاک معادله (3-10-7) به معادلهی (3-10-4) تبدیل میشود. همچنین برای مرتبه دوم لاولاک ()، یعنی آنتروپی والد در لاگرانژی گوس-بونه بهصورت زیر ساده میشود:
(3-10-8)
بهراحتی میتوان دریافت برای فضازمانهایی که ابرسطح فضاگونهی بعدی آن دارای اسکالر ریچی صفر باشد ، قانون مساحت برقرار خواهد بود.

3-10-4 بار الکتریکی

برای محاسبهی بار الکتریکی بر واحد حجم (منظور از حجم همان ابر سطح و ثابت است)، ابتدا تانسور میدان الکترومغناطیس را بر روی یک ابرسطح بهدست میآوریم. سپس سطح فضاگونه در مرز و با متریک در نظر گرفته و متریک مرز را به شکل 36ADMبهصورت زیر مینویسیم:
(3-10-9)
در رابطهی فوق، متغیرهای زاویهای هستند که ابرسطوح ثابت حول مبدا را پارامتریزه میکنند. همچنین بردارهای عمود بر این ابرسطح بهصورت زیر تعریف میکنیم:
(3-10-10)
که در این روابط و بهترتیب توابع گذار37 و جابهجایی38 میباشند. با توجه به روابط فوق، میدان الکتریکی برابر است با:
(3-10-11)
بنابراین بار الکتریکی کل بر واحد حجم را میتوان با محاسبهی شار میدان الکتریکی در بینهایت فضایی محاسبه نمود.

3-10-5 پتانسیل الکتریکی

پتانسیل الکتریکی که توسط ناظر بینهایت نسبت به مرجع (افق رویداد) اندازهگیری میشود، با استفاده از رابطهی زیر محاسبه میگردد:
(3-10-12)
در این رابطه، پتانسیل برداری و مولد نول39 افق رویداد میباشند که این مولدهای نول یک ترکیب خطی از بردارهای کیلینگ هستند.

3-10-6 سرعت زاویهای

برای محاسبهی سرعت زاویهای سیاهچاله روشهای متفاوتی وجود دارد. یکی از این روشها، استفاده از استمرار تحلیلی40 میباشد. برای استفاده از این روش ابتدا باید

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید