حال اگر لاگرانژی لگاریتمی را همانطور که در فصل دوم معرفی شد به صورت:
(4-3-1) LNEF
در نظر بگیریم، با در نظر گرفتن این لاگرانژی در فضایی که با متریک (4-2-2) توصیف میشود معادلات میدان بر حسب اینگونه محاسبه میشود:
(4-3-2)
با حل معادلهی فوق بر حسب داریم:
(4-3-3)
حال با فرض روابط (4-1-3) و (4-2-2)، گرانش گوس- بونه در را در حضور الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی در نظر میگیریم، پس از حل (4-1-11) در 5- بعد به معادلات دیفرانسیلی میرسیم که سادهترین آن مولفه است که عبارت است از:
(4-3-4)
در معادلهی دیفرانسیلی فوق، تابع متریک در 5- بعد میباشد، و میباشد. اگر (4-3-4) را بر حسب تابع متریک، ، حل کنیم داریم:
(4-3-5)
که
(4-3-6)
که در معادلهی فوق تابع فوق هندسی میباشد.
این حالت نیز مانند قسمت (4-2)، برای یافتن فرم کلی تابع متریک در (n+1)بعد میبایست تابع متریک را به همین صورت، (4-3-5)، برای ابعاد بالاتر از 5 نیز محاسبه کنیم. پس از محاسبهی معادلات میدان در ابعاد مختلف معادلهی دیفرانسیل برای مولفهی بهصورت زیر بهدست آوردیم:
(4-3-7)
که میباشد. اگر (4-3-7) را بر حسب حل کنیم داریم:
(4-3-8)
در این رابطه عبارت است از:
(4-3-9)
در صورتی که تابع متریک (n+1)- بعد را بهطور همزمان برای های کوچک و های بزرگ بسط دهیم، برای میتوان نوشت:
(4-3-10)
در معادلهی فوق که منطبق بر تابع متریک گرانش اینشتین- ماکسول در 1+4- بعد میباشد و جملهی دوم و سوم بهترتیب اولین تصحیح میدان غیرخطی الکترومغناطیسی و گرانش گوس- بونه میباشد. لازم به ذکر است که جملهی چهارم تصحیحِ جفت شدگی گرانش با میدان الکترومغناطیسی را نشان میدهد.

4-4 بررسی خصوصیات ترمودینامیکی سیاهچاله گوس-بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی

در این قسمت ابتدا کمیتهای ترمودینامیکی و پایای لایهی سیاه را محاسبه میکنیم. سپس رابطهی اسمار را برای جوابهای بهدست آمده تعمیم داده، جرم را به صورت تابعی از آنتروپی، تکانهی زاویهای و بار بهدست آورده و سپس قانون اول ترمودینامیک را آزموده و تایید میکنیم.

4-4-1 کمیتهای ترمودینامیکی و پایا
هرگاه حجم ابرسطحی که با دو قید، ثابت و ثابت، حاصل میشود را بنامیم، از آنجایی که آنتروپی با مساحت و قسمت فضایی معادلهی میدان ارتباط دارد در نتیجه آنتروپی برای گرانش گوس- بونه در حضور هر میدانی به یک شکل است. با توجه به اینکه در گرانش گوس- بونه کار میکنیم و در این سطح نمیتوان بهطور صریح از قانون مساحت استفاده کرد با استفاده از رابطهی (3-10-8) میتوان آنتروپی لایهی سیاه به شکل زیر بهدست آورد:
(4-4-1)
همانطور که ملاحظه میکنید، در این حالت برای گرانش گوس- بونه آنتروپی قانون مساحت را برآورده میکند. لازم بهذکر است که متریک مورد استفاده در این رساله دارای افق تخت بوده و لذا کمیت در معادلهی (3-10-8) صفر میشود.
برای محاسبهی پتانسیل الکتریکی، به کمک رابطهی (3-10-12) و بردار کیلینگ داده شده در رابطهی (4-1-20) داریم:
(4-4-2)
همچنین با توجه به قسمت (3-10-4) به محاسبهی بار الکتریکی بر واحد حجم میپردازیم، مقدار بهدست آمده عبارت است از:
(4-4-3)
که مقدار بارالکتریکی برای های بزرگ با توجه به نمودار:

شکل 5-1: تابع بر حسب

که تابع در فواصل دور به یک میل میکند، بار الکتریکی بر واحد حجم برابر است با:
(4-4-4)
از سوی دیگر با استفاده از توضیحات قسمت (3-11) و به کمک روابط (4-4-1) و (4-4-4) جرم و تکانهی زاویهای عبارتند است از:
(4-4-5)
(4-4-6)
که رابطهی اخیر نشاندهندهی این واقعیت است که بهدرستی پارامتر دوران متریک مورد مطالعه میباشد.
4-4-2 انرژی بهعنوان تابعی از کمیتهای پایا
حال که همه کمیتهای ترمودینامیکی و پایای لایهی سیاه را محاسبه کردیم، مطلوب است که به بررسی قانون اول ترمودینامیک بپردازیم. در ابتدا جرم را بهصورت تابعی از کمیتهای نافزونور محاسبه میکنیم. با استفاده از روابط مربوط به آنتروپی، بارالکتریکی و تکانه زاویهای که در روابط (4-4-1)، (4-4-4) و (4-4-6) آمده است. با استفاده از این حقیقت که ، رابطهی اسمار را میتوان به شکل زیر نوشت:
(4-4-7)
که در آن و ریشهی حقیقی و مثبت معادلهی زیر است:
(4-4-8)
که در این رابطه میباشد.
اکنون میتوان با توجه به تعریف، کمیتهای فزونور (دما، تکانهی زاویهای و پتانسیل الکتریکی) را محاسبه نمود:
(4-4-9)
با کمک گرفتن از محاسبات عددی میتوان دید که کمیتهای محاسبه شده در روابط (4-2-18)، (4-2-17)، (4-4-2) و (4-4-4) دقیقا با کمیتهای محاسبه شده در (4-4-9) منطبق است. در نتیجه قانون اول ترمودینامیک به صورت زیر صادق است:

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید