صورت زیر دستهبندی شدهاند:
فصل دوم به الکترومغناطیس غیرخطی اختصاص دارد. ابتدا میدانهای غیرخطی بورن- اینفلد و توانی ناوردای ماکسول را معرفی و سپس به معرفی دو کلاس جدید از الکترومغناطیس غیرخطی پرداخته میشود و لاگرانژی آنها مورد بررسی قرار داده میشود. سپس میدان الکتریکی ذرات باردار نقطهای در این نظریهها ارائه میگردد.
فصل سوم به مقدماتی در مورد گرانش اختصاص دارد. ابتدا در مورد اصول نسبیت عام به اختصار بحث میشود، آنگاه برخی تعاریف مورد نیاز در مورد هندسه و متریک فضازمان ارائه شده و سپس به معرفی گرانش لاولاک و به خصوص لاگرانژی مرتبهی دوم لاولاک (لاگرانژی گوس- بونه) پرداخته میشود. سپس به مکانیک سیاهچاله پرداخته شده و به قوانین ترمودینامیک سیاهچالهها به صورت اختصار اشاره میشود.
فصل چهارم لایهی سیاه گرانش گوس- بونه را در حضور دو کلاس جدید از الکترومغناطیس غیرخطی محاسبه و سپس خصوصیتهای هندسی فضازمان شامل تکینگی9 (در صورت وجود) افق رویداد، رفتارهای مجانبی و… مورد بررسی قرار گرفته میشود. در ادامه کمیتهای پایا10 و ترمودینامیکی را محاسبه کرده و قانون اول ترمودینامیک مورد بررسی قرار داده میشود.

فصل دوم
نظریههای الکترودینامیک غیرخطی و معرفی دو کلاس جدید

2-1 نظریهی خطی الکترودینامیک: نظریهی ماکسول

الکترومغناطیس، مطالعهی تأثیرات بارهای الکتریکی ساکن و متحرک و تأثیرات ناشی از آنهاست. بار الکتریکی ساکن، یک میدان الکتریکی در اطراف خود ایجاد میکند و بارهای الکتریکی متحرک، جریانی را بهوجود میآورند که یک میدان مغناطیسی را موجب میشود. مطالعهی کامل شاخهی الکترومغناطیس کلاسیک تنها از طریق چهار معادلهی ماکسول میسر است.
ماکسول در سال 1865 این چهار معادله را در شکل نهاییاش، بدون هیچ فرض خاصی دربارهی ماهیت محیطی که پدیدههای الکترومغناطیس در آن منتشر میشوند، ارائه کرد. معادلات ارائه شده توسط ماکسول خطی هستند. معادلات ماکسول در حضور چگالی بار و جریان الکتریکی بهصورت زیر هستند:
(2-1-1)
معادلات ماکسول را که توصیف کنندهی الکترمغناطیس کلاسیک هستند، میتوان از لاگرانژی زیر استخراج نمود:
(2-1-2)
که در آن، تانسور میدان الکترومغناطیس و پتانسیل برداریست11. تانسور انرژی- تکانه که متناسب با وردش این لاگرانژی نسبت به تانسور متریک است، بهصورت زیر معرفی میشود:
(2-1-3)
و معادلاتی که در (2-1-1) نوشته شده از وردش لاگرانژی فوق نسبت به تانسور حاصل میگردد. در حوزهی فیزیک نظری علاوه بر خصوصیات جالب توجه معادلات ماکسول، دو خصوصیت زیر نیز از ویژگیهای این معادلات بهشمار میروند:
1- محاسبهی خود انرژی ذرات باردار نقطهای به مقدار نامتناهی منجر میشود.
2- در ابعاد بالاتر از 4-بُعد، این معادلات قانون عکس مجذوری را برای میدان الکتریکی بار نقطهای رعایت نمیکنند.
سوالی که ذهن خواننده را معطوف میکند ایناست که آیا میتوان نظریهای ارائه نمود که علاوه بر خصوصیات جالب و منطقی معادلات ماکسول، خود انرژی ذرات باردار نقطهای را متناهی ارائه کند و سوال دیگر ایناست که آیا در ابعاد بالاتر از 4- بعد، میدان الکتریکی یک بار نقطهای عکس مجذوری است یا خیر؟ جستوجوی جواب برای این سوالات باعث شد تا فیزیکدانان بهدنبال نظریات انعطافپذیرتری باشند.

2-2 نظریهی غیرخطی الکترودینامیک: نظریهی بورن- اینفلد (BI)

بورن و اینفلد در سال 1934 با ارائهی لاگرانژی نظریه الکترودینامیک غیرخطی را پایهریزی کردند ]10[. در این نظریه، بورن و اینفلد یک لاگرانژی جدید بهجای لاگرانژی ماکسول معرفی کردند که مشکل نامتناهی خود انرژی ذرات باردار نقطهای را حل میکرد. در حد میدانهای ضعیف، لاگرانژی بورن- اینفلد به لاگرانژی ماکسول و یکسری تصحیحات کوچک کاهش مییابد. از طرفی در حد میدانهای قوی معادلات بورن- اینفلد به طور قابل ملاحظهای از معادلات میدان ماکسول فاصله میگیرد و خود انرژی ذرات باردار محدود و متناهی بهدست میآید.
لاگرانژی بورن- اینفلد تابعی از لاگرانژی ماکسول () به صورت
(2-2-1)
معرفی میشود که در آن موسوم به پارامتر بورن- اینفلد است.
در حد میدانهای ضعیف ، لاگرانژی بورن- اینفلد به لاگرانژی ماکسول تبدیل میشود.
(2-2-2)
کنش میدان الکترومغناطیسی غیرخطی بورن- اینفلد به صورت زیر میباشد:
(2-2-3)
که در این رابطه، دترمینان متریک میباشد.
معادلات میدان الکترومغناطیسی غیرخطی بورن- اینفلد با وردش از نسبت به تانسور الکترومغناطیس بهصورت زیر بهدست خواهند آمد.
(2-2-4)
که با حل این معادلهی (2-2-4) در یک فضازمان n+1 بُعدی مینکوفسکی به معادلهی دیفرانسیل
(2-2-5)
میرسیم. در این معادله پریم مشتق مرتبهی اول نسبت به میباشد. با حل این معادله بر حسب داریم:
(2-2-6)
که در این رابطه عددی ثابت و متناسب با بار الکتریکی میباشد.
همانطور که انتظار داریم، معادلهی (2-2-6) در 4- بُعد و حالت حدی به:
(2-2-7)
که همان میدان الکتریکی بار نقطهای در معادلهی خطی ماکسول میباشد.
با توجه به معادلهی (2-2-6) میدان الکتریکی بار نقطهای را در محاسبه میکنیم:
(2-2-8)
رابطهی (2-2-8) نشان میدهد که بر خلاف میدان ناشی از معادلات ماکسول، در نظریهی بورن- اینفلد تکینگی میدان الکتریکی بار نقطهای در مبدا برطرف شده است.
پس از آنکه هافمن نسبیت عام را با الکترودینامیک بورن- اینفلد پیوند داد و جوابهای سیاهچالهای آن را بهدست آورد ]12[، الکترودینامیک بورن- اینفلد در شاخههای مختلف گرانش و کیهانشناسی مورد توجه قرار گرفت که از جمله مقالات ارائه شده در این زمینه را میتوان در مراجع ]18-20[ دید.

2-3 نظریهی الکترودینامیک غیرخطی: نظریهی توانی ناوردای ماکسول (PMI)

با وجود اینکه با معرفی لاگرانژی بورن- اینفلد مشکل خود انرژی ذرات باردار نقطهای حل شد، اما خصوصیت دیگر نظریهی بورن- اینفلد این است که مثل نظریهی ماکسول، میدان الکتریکی آن در ابعاد بالاتر از 4- بُعد وابسته به ابعاد فضازمان است. لازم به ذکر است، از آنجا که امکان دارد در ابعاد بالاتر از 4، میدان الکتریکی هنوز عکس مجذوری باشد (صحت یا سقم این موضوع اثبات نشده است)، به دنبال نظریههای انعطافپذیرتری هستیم که این قابلیتها را داشته باشد.
یکی دیگر از نظریات قابل توجه در در حوزهی الکترودینامیک غیرخطی، نظریهی توانی ناوردای ماکسول () میباشد که در بسیاری از مقالات حوزهی گرانش به آن اشاره شده است [13و14]. این نظریه با لاگرانژی زیر معرفی میشود:
(2-3-1)
که در این رابطه ثابتی است که قابل تعیین است و پارامتر موسوم به پارامتر غیرخطی نظریه است. نظریهی توانی ناوردای ماکسول، نظریهی ماکسول را طوری تغییر میدهد که همیشه میدان الکترومغناطیس ذرات باردار نقطهای، صرف‌نظر از ابعاد فضازمان میتواند متناسب با عکس مجذور فاصله باشد.
کنش میدان الکترومغناطیسی غیرخطی توانی ناوردای ماکسول به صورت زیر معرفی میشود [13و14]:
(2-3-2)
معادلات میدان الکترومغناطیسی غیرخطی توانی ناوردای ماکسول با وردش از نسبت به تانسور الکترومغناطیس بهدست خواهند آمد. معادلات میدان الکترومغناطیسی با در نظر گرفتن متریک مینکوفسکی در n+1 بُعد به صورت زیر ساده میشود:
(2-3-3)
با حل این معادله بر حسب داریم:
(2-3-4)
در این رابطه عددی ثابت و متناسب با بار الکتریکی است. بهراحتی میتوان نشان داد که با تنظیم پارامتر بهصورت ، در هر بُعد دلخواه، میدان همواره عکس مجذوری بهدست میآید. از معادلهی (2-3-4) واضح است که همانند نظریهی ماکسول در حد میدان الکتریکی ذرات نقطهای نامتناهی میشود ولی همانند لاگرانژی ماکسول برای ذرات باردار شبهنقطهای خصوصیت بینهایت شدن میدان الکتریکی در را دارا میباشد.
میدان غیرخطی توانی ناوردای ماکسول به ازای های مختلف همراه با میدان الکتریکی ماکسول در نمودار (2-1) نشان داده شده است که:

شکل 2-1: نمودار میدان الکتریکی برای (نقطهچین)، (خط پیوسته و منطبق بر نمودار ماکسول) و (خط چین)
که بیانگر این واقعیت است که میدان الکتریکی ناوردای ماکسول همانند میدان ماکسول در تکین میباشد. همچنین نمودار (2-1) نشان میدهد که بهازای مقادیر مختلف پارامتر غیرخطی ، سرعت واگرایی در های کوچک و رفتار میدان در فواصل بزرگ متفاوت است.

2-4 نظریهی غیرخطی الکترودینامیک: نظریهی لگاریتمی(12LNEF)

پس از معرفی الکترودینامیکهای غیرخطی و اینکه این دو نظریه، یعنی نظریهی غیرخطی بورن- اینفلد و نظریهی توانی ناوردای ماکسول، هرکدام یکی از خصوصیات معادلات ماکسول را مدنظر قرار داده بودند و قادر به رفع هردو خصوصیت بهصورت هم‌زمان نبودند، فیزیکدانان دنبال لاگرانژی بودند که خصوصیات ترکیبی این دو نظر را بهصورت هم‌زمان داشته باشد. هرچند چنین نظریهای هنوز ارائه نشده ولی در این مسیر نظریات جالب توجهی که از آن جمله میتوان به نظریهی لگاریتمی و نظریهی نمایی الکترودینامیک غیرخطی اشاره نمود.
الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی نخستین بار توسط سولنج مطرح شد ]21[. لاگرانژی این نظریه تابعی از لاگرانژی ماکسول و بهصورت زیر معرفی میشود:
(2-4-1)
که در این معادله پارامتر غیرخطی میباشد.
اگر معادله (2-4-1) را برحسب های بزرگ بسط دهیم داریم:
(2-4-2)
همانطور که انتظار داریم با اعمال این لاگرانژی به (لاگرانژی ماکسول) تبدیل میشود.
کنش میدان الکترومغناطیسی غیرخطی لگاریتمی به صورت زیر معرفی میشود:
(2-4-3)
همچنین با وردش لاگرانژی لگاریتمی نسبت به ، معادلات غیرخطی الکترومغناطیسی لگاریتمی بهصورت زیر حاصل میگردد.
(2-4-4)
که با حل معادلهی (2-4-4) در یک فضازمان مینکوفسکی در n+1 بُعدی بهصورت زیر ساده میشود:
(2-4-5)
با حل این معادله بر حسب داریم:
(2-4-6)
که در رابطهی فوق میباشد. اگر رابطهی (2-4-6) را بر حسب های بزرگ بسط دهیم داریم:
(2-4-7)
که در حد و برای 4- بُعد، همان میدان الکتریکی عکس مجذوری بار نقطهای در معادلهی خطی ماکسول بهدست میآید. همچنین اگر رابطهی (2-4-6) را بر حسب های کوچک بسط دهیم داریم:
(2-4-8)
که نشان میدهد همانند نظریهی بورن- اینفلد میدان الکتریکی ذرات نقطهای در مبدا متناهی میشود.

2-5 نظریهی غیرخطی الکترودینامیک: نظریهی نمایی(13ENEF)

لاگرانژی غیرخطی نمایی نخستین بار در سال 2012 در مرجع ]22[ ارائه شد. لاگرانژی غیرخطی نمایی به شکل
(2-5-1)
میباشد که در آن پارامتر غیرخطی میباشد. همان‌طوری در مرجع ]22[ آمده، این لاگرانژی شبیه الکترودینامیک بورن و اینفلد واگرایی میدان الکتریکی در از بین نمیبرد اما میدان الکتریکی بدست آمده برای ذرات باردار شبه نقطهای در های کوچک و نزدیک به صفر خیلی کمتر از مقدار بدست آمده ا

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید