پارامترهای چرخش را و مختصههای متناظر را بنامیم، با قرار دادن و متریک را اقلیدسی کرده و همچنین برای خوشرفتاری فضازمان در افق رویداد، ها باید متناوب و خوشرفتار باشند. یعنی:
(3-10-13)
که در آن و ها بهترتیب عکس دمای هاوکینگ و سرعتهای زاویهای افق رویداد هستند.

3-11 روش کانترترم در گرانش

در محاسبهی برخی از کمیتهای پایا نظیر جرم، هنگامی که مرز را به سمت بینهایت میل میدهیم درخواهیم یافت که مقادیر محاسبه شده نامحدود میشوند. برای بهدست آوردن مقادیر فیزیکی محدود بایستی جملههایی به کنش اولیه اضافه کنیم.
اولین بار براون و یورک برای بهدست آوردن کنش محدود و در نتیجه تانسور تنش محدود، مسالهی محدودسازی به روش کم کردن زمینه را مطرح کردند. در این روش مرز مورد نظر را در یک فضای زمینه غوطهور میکنند [57]. با وجود اینکه این روش در حالتهایی جواب گو بود اما از چند نظر دچار اشکال بود. اول اینکه کمیتهای محاسبه شده نسبت به فضای زمینه سنجیده میشوند. یعنی ما از فضای زمینه بهعنوان فضای کمکی استفاده کردهایم و برای مرزهای مختلف فضاهای زمینهی مختلف باید بهکار روند [58]. دوم اینکه همیشه ممکن نیست که مرز دلخواهی با هندسهی ذاتی دلخواه را در یک فضایی زمینه غوطهور کرد [59].
در سالهای اخیر برای حذف این واگراییها روشهای جدیدی ارائه شده است [60، 61 و 62]. بیان یکی از این روشها اینگونه است که برای یک فضا با مرز، تنها راه محدود کردن مقدار کنش بدون اینکه در تقارن و معادلات میدان تغییری ایجاد شود، این است که کنشی که تابعی از ناورداهای فضازمان است را به کنش اصلی اضافه نماییم. این کنش که به کانترترم موسوم است، با از بین بردن واگراییهای موجود در کنش، آنرا محدود میسازد.
از آنجایی که هنوز کانترترم کلی در گرانش گوس- بونه برای هر مرز منحنی نوشته نشده است، فقط به بررسی جملهی کانترترم برای مرز تخت میپردازیم. کنش کانترترم به صورت:
(3-11-1)
ارائه میشود. در این کنش، فاکتور مقیاس طول بوده و تابعیت آن به و به شکلی است که در حالت حدی به کاهش مییابد.
در نهایت با توجه به مطالب فوق و قسمت مربط به کنش مرزی، (2-6)، میتوان کنش کلی محدود برای گرانش گوس- بونه را به این صورت معرفی نمود:
(3-11-2)
با توجه به کنش، (3-11-2)، و با کمک گرفتن از تعریف براون و یورک [57] میتوان تانسور محدود انرژی- تکانه برای مرز تخت را اینگونه بهدست آورد [63].
(3-11-3)
برای محاسبهی کمیتهای پایا، سطح فضاگونهای مطابق متریک (3-10-9) در نظر میگیریم. اگر روی مرز میدان برداری کیلینگ به شکل داشته باشیم، کمیتهای پایای متناظر با تانسور انرژی- تکانه، (3-11-3)، را میتوان به فرم زیر نوشت]60و61[:
(3-11-4)
که در آن دترمینان متریک و بردار واحد عمود بر میباشد.
بهعنوان مثال وجود بردارهای کیلینگ زمانگونه و دورانی بهترتیب متناظر با کمیتهای پایای جرم و تکانهی زاویهای به شکل زیر میباشد:
(3-11-5)
(3-11-6)

فصل چهارم
جوابهای لایهی سیاه گرانش گوس- بونه
در حضور دو کلاس جدید از الکترودینامیک
غیرخطی

مقدمه
در این فصل دو فضازمان مورد بررسی قرار داده میشود. گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی و گرانش گوس-بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی. بهاین صورت که خصوصیات نظریهی الکترودینامیک غیرخطی را همانطور که در فصل دوم دیدیم در حضور متریک فضای چرخندهی آنتیدوسیته در نظر گرفته و مورد بررسی قرار داده میشود و سپس جوابهای لایهی سیاه گرانش گوس- بونه در حضور این دو کلاس از الکترودینامیک غیرخطی بهدست آورده و به بحث در مورد خصوصیات جوابها پرداخته میشود. در نهایت به بررسی کمیتهای پایا پرداخته و قانون اول ترمودینامیک را برای گرانش گوس- بونه در حضور این دو کلاس از الکترودینامیک غیرخطی بررسی میکنیم.

4-1 معادلات میدان

با توجه به آنچه تاکنون در فصلهای قبل گفته شد، به دنبال یافتن جوابها و بررسی ترمودینامیک گرانش گوس- بونه در حضور کلاس جدیدی از الکترودینامیک غیرخطی میباشیم که کنش آن به این صورت میباشد:
(4-1-1)
که در این رابطه ، کنش گرانش و انتگرال دوم کنش مرزی در گرانش گوس- بونه میباشد که بهمنظور خوش تعریف شدن معادلات وردش داده شده به کنش اصلی اضافه کردهایم و لاگرانژی ماده و میدان میباشد:
(4-1-2)
در این رابطه، ثابت کیهانشناسی میباشد و مقدار آن برای فضای آنتیدوسیته میباشد و همچنینو در معادلات (3-5-3) و (3-5-4) معرفی شدهاند.
با در نظر گرفتن گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی و با تکیه بر اصل وردش، کنش (4-1-1) را نسبت به تانسور متریک وردش میدهیم. معادلات میدان به صورت زیر حاصل میشود:
(4-1-3)
که در رابطهی فوق تانسور انرژی- تکانه به شکل:
(4-1-4)
میباشد که در این رابطه به صورت زیر تعریف میشود:
(4-1-5)
روابط فوق معرف معادلات میدان گرانش گوس- بونه در حضور یک میدان کلی الکترومغناطیسی میباشد. در ادامه با معرفی کلاسهای جدیدی از لاگرانژین الکترودینامیک غیرخطی، در جستوجوی جوابهای سیاهچالهای خواهیم بود.

4-2 گرانش گوس- بونه در حضور میدان الکترومغناطیس غیرخطی نمایی

لاگرانژی الکترودینامیک غیرخطی نمایی همانطور که در فصل دوم معرفی شد بهصورت زیر در نظر گرفته میشود:
(4-2-1) ENEF
در ادامه این لاگرانژین را در کنش گرانشی، (4-1-1)، به عنوان لاگرانژی میدان مادی در نظر میگیریم. اکنون در پی مطالعهی تاثیرات میدان غیرخطی بر هندسهی فضازمان هستیم. متریک فضای چرخندهی باردار مجانبا آنتیدوسیتهی (n+1) بعدی که ابرسطوح (r,t) ثابت آن تخت است، به صورت زیر معرفی میشود:
(4-2-2)
که در آن و متریک اقلیدسی(n-k-1) بعدی میباشد. حداکثر تعداد پارامترهای دوران k در فضازمان (n+1) بعدی برابر با میباشد که نشاندهندهی جزصحیح میباشد.
با توجه به متریک فوق، پتانسیل پیمانهای مناسب را اینگونه فرض میکنیم:
(4-2-3) (روی جمع بسته نمیشود)
با در نظر گرفتن این پتانسیل برداری و در نظر گرفتن لاگرانژی نمایی، (4-1-3)، با حل معادلهی (2-5-4) معادلات میدان بر حسب اینگونه محاسبه میشود:
(4-2-4)
که در این معادله پریم یگانه و پریم دو گانه بهترتیب مشتق مرتبهی اول و دوم نسبت به میباشد.
با حل معادلهی (4-2-4) بر حسب داریم:
(4-2-5)
که در آن ثابت بار الکتریکی و همانطور که در فصل دوم تعریف کردیم میباشد که است.
با در نظر گرفتن معادلات میدان گرانشی (4-1-3) به همراه متریک معرفی شده (4-2-2)، گرانش گوس- بونه را در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی، در 5- بعد در نظر گرفته و به معادلات دیفرانسیلی می‌رسیم که سادهترین آن مؤلفۀ و به صورت زیر بهدست میآید:
(4-2-6)
در معادلهی فوق پریم، معرف مشتق نسبت به مختصهی است، ، تابع متریک در 5- بعد میباشد و تعریف میشود. اگر رابطهی (4-2-6) را بر حسب تابع متریک، ، حل کنیم داریم، میتوان نوشت:
(4-2-7)
برای اینکه فرم کلی تابع متریک در (n+1)بعد بهدست آوریم، تابع متریک را به همین صورت، (4-2-7)، برای ابعاد 6، 7، 8 و…، نیز محاسبه کرده و فرم کلی معادلهی دیفرانسیل برای مولفهی بهصورت زیر بهدست میآوریم:
(4-2-8)
اگر معادله (4-2-8) را بر حسب حل کنیم داریم:
(4-2-9)
که در رابطهی فوق میباشد. همچنین عبارت است از:
(4-2-10)
باید به این نکته توجه داشت که اگرچه محاسبهی تابع از سایر مؤلفه‌های معادلهی دیفرانسیلی بهدست آمده کار پیچیدهای است اما بهسادگی میتوان دید که جوابهای حاصل شده برای یعنی (4-2-9) در همگی مؤلفه‌های معادله (4-1-3) صادق است (حاصل انتگرالهای بهکار رفته در (4-2-10) در پیوست آمده است).
در صورتی که تابع متریک (n+1)- بعد را بهطور همزمان برای های کوچک و های بزرگ بسط دهیم، برای میتوان نوشت:
(4-2-11)
در معادلهی فوق که منطبق بر تابع متریک گرانش اینشتین- ماکسول در 1+4- بعد میباشد و جملهی دوم و سوم بهترتیب اولین تصحیح میدان غیرخطی الکترومغناطیسی و گرانش گوس- بونه میباشد. لازم به ذکر است که جملهی چهارم تصحیحِ جفت شدگی گرانش با میدان الکترومغناطیسی را نشان میدهد.
اگر تابع را برای های بزرگ بسط دهیم داریم:
(4-2-12)
و اگر (4-2-12) را برای های بزرگ بسط دهیم به معادلهی (4-2-11) میرسیم. از مقایسهی این دو رابطه در مییابیم که راه حل فوق برای منفی مجانبا آنتیدوسیته است و ثابت کیهانشناسی موثر
(4-2-13)
خواهد بود که در حد به ثابت کیهانشناسی معمول میل خواهد کرد.

4-2-1 خصوصیات فضا زمان
با استفاده از متریک (4-2-2) اسکالر کریشمان را میتوان به این صورت محاسبه کرد:
(4-2-14)
که در آن پریم یگانه و پریم دوگانه به ترتیب مشتق مرتبهی اول و دوم نسبت به میباشند.
با در نظر گرفتن متریک محاسبه شده و بررسی اسکالر کریشمن، (4-2-14)، در مییابیم که این کمیت در های خیلی کوچک واگرا میشود و سایر نقاط دارای مقدار متناهی است:
(4-2-15)
از این رو برای جوابهای حاصل از گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی در یک تکینگی اصلی وجود دارد و لذا این فضازمان در بر گیرندهی یک سیاهچاله میباشد.
برای بررسی جوابهای سیاهچالهای، باید وجود افقها را بررسی کنیم. متریک ارائه شده در معادله (4-2-2) دارای افق کیلینگ و افق رویداد است. منظور از افق کیلینگ، ابر سطحی است که مولدهای نول آن بر میدان کیلینگ مماس باشند.
بردار کلینگ برای متریک (n+1)- بعدی عبارت است از:
(4-2-16)
که مولد نول افق رویداد میباشد. در رابطهی فوق، همان امین مولفهی سرعت زاویهای افق بیرونی است که با استمرار تحلیلی متریک بهدست میآید. برای سرعت زاویهای افق بیرونی با توجه به (3-10-6) داریم:
(4-2-17)
با استفاده از رابطهی دما، (3-10-2)، و نیز معادلهی (4-2-16)، میتوان دما را بهصورت زیر نوشت:
(4-2-18)
در سیاهچالههای باردار تابع متریک بهازای هر دو حالت و وابسته به پارامتر متریک به یک مقدار مثبت میل میکند. اما برای سیاهچالههای باردار با بار غیرخطی، تابع متریک وابسته به پارامتر غیرخطی میتواند مثبت، صفر و منفی باشد. بهعبارت دیگر تابع متریک برای های بزرگ مسلما یک مقدار مثبت است ولی برای وابسته به کمیت غیرخطی میتواند مثبت ، صفر و منفی باشد. با فرض اینکه باشد میتوان را بر حسب ، و بدست آورد.
برای حالت سیاهچاله شبیه جواب شوارتزشیلد برای حالت آنتیدوسیته دارای یک افق غیراکستریم با دمای مثبت است (جواب بدون بار). اما برای حالت ، سیاهچاله وابسته به انتخاب پارامتر غیرخطی اکستریم میتواند دارای دو افق رویداد ، یک افق رویداد (اکستریم) و بدون افق رویداد (تکینگی برهنه41) باشد ]22[.

4-3 گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی

دسته بندی : No category

دیدگاهتان را بنویسید